Научни извештај о анализи преноса топлоте у мешовитом конвекцијском протоку маквелл течности преко осцилирајуће вертикалне плоче | научни извештаји

Научни извештај о анализи преноса топлоте у мешовитом конвекцијском протоку маквелл течности преко осцилирајуће вертикалне плоче | научни извештаји

Anonim

Субјекти

  • Динамика флуида
  • Машинство
  • Ерратум на овај чланак објављен је 17. маја 2018. године

Овај чланак је ажуриран

Апстрактан

Овај научни извештај истражује анализу преноса топлоте у мешовитом конвекцијском току Маквелл-ове течности преко осцилирајуће вертикалне плоче са константном температуром зида. Проблем се моделира у смислу парцијалних диференцијалних једначина са почетним и граничним условима. Уводе се неке погодне немедимензионалне променљиве да би се управљачки проблем трансформисао у бездимензијски облик. Настали проблем се решава методом Лапласове трансформације и добијају се тачна решења за брзину, смицање напона и температуру. На ова решења у великој мери утиче варијација уграђених параметара који укључују Прандтл број и Грасхоф број за различита времена. У недостатку слободне конвекције, одговарајући раствори који представљају механички део брзине смањују се на добро позната решења у литератури. Укупна брзина представљена је као зброј косинусних и синусних брзина. Нестабилна брзина у сваком случају је распоређена у облику пролазних и пост пролазних делова. Утврђено је да су пролазни делови независно од времена. Раствори који одговарају Невтоновим течностима проналазе се као посебан случај, а поређење између Невтонске течности и Маквелл течности је графички приказано.

Увод

Тачна решења за мешовите или слободне конвекцијске проблеме вискозне течности су у литератури обиље. Међутим, оваква решења за не-њутонске течности су ретка, нарочито за Маквелл-ове течности, такви раствори не постоје. Опћенито, у не-Невтоновим флуидима, однос који повезује напонски смицање и брзину смицања је нелинеарни, а конститутивни однос формира једнаџбе не-њутонских флуида који су вишег реда и сложени у поређењу с Навиер-Стокесовом једнаџбом која управља протоком вискозних течност. Због ове велике нелинеарности, решења затвореног облика за не-невтонске протоке течности нису могућа за проблеме који су од практичног интереса. Тачније, када се проблеми са течностима решавају Лапласовом техником трансформације, често инверзни Лапласови трансформисани трансформисани функције не постоје. Због ове потешкоће, истраживачи обично користе нумеричке поступке за проналажење инверзне Лапласове трансформације. Међутим, та решења се не сматрају искључиво тачним решењима.

Због велике разноликости у физичкој структури не-њутонских течности, истраживачи су предложили различите математичке моделе како би разумели динамику таквих течности. Углавном спадају у подкатегорију флуида диференцијалног типа или флуида типа брзине. Међутим, велико интересовање истраживача види се у проучавању типова флуида због чињенице да заједно укључују еластичне и меморијске ефекте. Први и најједноставнији модел типа вискоеластичних стопа који се још увек широко користи за рачунање течних реолошких ефеката назива се Маквелл модел 1 . Овај модел се може генерализовати како би се добила мноштво модела. У почетку је модел Маквелл течности развијен да опише еластичну и вискозну реакцију ваздуха. Међутим, након тога, често се користила за моделирање реакција различитих вискоеластичних течности у распону од полимера до земаљског плашта 2, 3, 4 . Након пионирског рада Фриедрицха 5, на фракционим дериватима Маквелл-ове течности, проведено је неколико других истраживања у том правцу.

Међу њима су Хаитао и Мингиу 6 проучавали фракциони Маквелл-ов модел у каналу, Јамил ет ал . 7 анализирано нестабилно струјање генерализоване Маквелл течности између два цилиндра. У другој истрази, Јамил и др . 8, испитивали су спирале фракционализоване Маквелл течности док је Јамил 9 анализирао ефекте клизања на осцилирајућу фракционализовану Маквелл течност. Цорина и др . 10 је дао кратку белешку о другом проблему Стокеса за Маквелл течности. Зхенг и др . 11, развио је тачна решења за генерализовану Маквелл-ову течност за осцилационе и константно убрзавајуће покрете плоча, Зхенг ет ал . 12 су користили исти модел течности за испитивање преноса топлоте због плоче за убрзавање хиперболичког синуса. Ки и Лиу 13 проучавали су неке протоке из фракцијске Маквелл-ове течности. Трипатхи 14 је применио фракциони Маквелл модел за проучавање перисталтичког транспорта у униформним цевима.

Фетецау и Фетецау 15, успоставили су ново тачно решење за проток Маквелл течности поред бесконачне плоче. У другом истраживању, Фетецау и Фетецау 16 одредили су тачна решења помоћу Фоуриер-ових синусних трансформација за некомпримирајућу течност типа Маквеллиан подложну линеарном току на бесконачној равној плочи и унутар бесконачне ивице. Јордан и др . 17 проучавао је Стокесов први проблем за Маквелл течности и добио нова тачна решења. Зиереп и Фетецау 18 испитали су енергетску равнотежу за Раилеигх-Стокес проблем Маквелл-ове течности. Међу неким другим важним студијама о Маквелл-овим течностима, овде ћемо поменути важне доприносе Јамил ет ал . 19, Виеру и Рауф 20, Виеру и Зафар 21 и Кхан ет ал . 22 . Међутим, у свим тим истраживањима анализа преноса топлоте није узета у обзир. Тачније, феномен преноса топлоте услед мешовите конвекције није био укључен у све горе наведене студије. Стога је жариште овог рада анализа Маквелл-ове течности преко осцилирајуће вертикалне плоче са константном температуром зида и успостављање тачних решења помоћу Лапласове трансформационе методе. Добивени резултати узимајући у обзир анализу преноса топлоте у Маквелл флуиду има индустријску важност, јер многи проблеми од физичког интереса укључују пренос топлоте као што су аутомобилска индустрија (радијатор, кругови хлађења, лампе), ваздухопловство (систем за одлеђивање, расхладни системи), у хемијском процесу индустрија (системи за рекуперацију топлоте, измењивачи топлоте), енергија (пећи, бојлер, попречни измењивачи топлоте, соларни панели) и кућни апарати (пећи, грејачи за домаћинство) 23, 24, 25 .

Математичка формулација проблема

Размотримо нестабилни мешани конвекцијски ток некомпримирајуће Маквелл-ове течности преко осцилирајуће вертикалне равне плоче која се креће са осцилирајућом брзином у својој равнини. У почетку, у тренутку т = 0, и течност и плоча су у мировању са константном температуром Т . У времену т = 0 + плоча се подвргава синусоидним осцилацијама тако да се брзина на зиду даје В = У 0 Х (т ) цос (ω т ), што резултира индукованим Маквелл протоком течности. Тачније, плоча почиње да осцилира у својој равнини ( и = 0) према В = У 0 Х (т ) цос (ω т ) и ; где је константа У 0 амплитуда кретања, Х (т ) је функција јединичног корака, и је јединични вектор у вертикалном смеру протока и ω је фреквенција осцилације плоче. У исто време т = 0 +, температура плоче се подиже или спушта до константне вредности Т в . Брзина опада на нулу, а температура се приближава константној вредности Т , познатој и као температура слободног тока. Једнаџбе које управљају Маквелл протоком течности повезаним са смицањем напона и преношењем топлоте услед мешовите конвекције дају се следећим парцијалним диференцијалним једнаџбама:

Image

Image

Image

Одговарајући почетни и гранични услови су:

Image

Увођење следећих немедимензионалних величина:

Image

у једначине (1, 2, 3), добијамо

Image

Image

Image

са одговарајућим почетним и граничним условима:

Image

Image

Image

Решење проблема

Температура

Узимајући Лапласову трансформацију уједначења (8), (10) 2, (11) 2 и користећи почетно стање (9) 2, добићемо

Image

Image

Решење парцијалне диференцијалне једначине (12) под условима (13) је дато као:

Image

Узимајући инверзну Лапласову трансформацију и користећи (А1), добијамо:

Image

Поље брзине

Узимајући Лапласову трансформацију једначина (6), (10) 1, (11) 1 и користећи почетне услове, добићемо

Image

Image

Коришћење еквивалента (14) у ув. (16), имамо

Image

Решите парцијални диференцијал Ек. (18) имамо:

Image

Последња једнакост може се записати у еквивалентном облику као:

Image

где

Image

.

Дозволити

Image

Image

Узимање инверзне Лапласове трансформације једначине. (21), добијамо:

Image

Image

Image

Узимање обрнутог Лапласа једначине. (25), добијамо

Image

Image

где

Image

бити Дирац-ова дистрибуција.

Примјена инверзне Лапласове трансформације на Ек. (20) и користећи производ савијања, добијамо

Image

Јак стрес

Примјена Лаплацеове трансформације на Ек. (7), добијамо

Image

Дифферентиате Ек. (19) у погледу просторне променљиве

Image

, ми добијамо

Image

Пут Ек. (30) у екв. (29), добијамо

Image

где

Image

Image

Image

Применом инверзне Лапласове трансформације на једначине (31), (32), (33) и (34), добићемо

Image

са

Image

Image

Image

где

Image

представља производ савијања и

Image

дефинисан је у Додатку (А3).

Решења у одсуству силе узгона (ограничавајући случај)

У овом случају, када је Гр = 0, растворе које одговарају осцилирајућем кретању границе лако се могу добити од еквивалента. (28) и (35). Оваква решења су већ добијена од стране Цорине ет ал . 10 .

Њутонска течност ( λ = 0).

Велоцити

Image

Image

Image

Јак стрес

Image

где

Image

Нумерички резултати и дискусије

Геометрија проблема је дата на слици 1. Да би се добио физички увид у резултате који одговарају осцилирајућој брзини на граници, извршени су бројчани прорачуни за различите вредности одговарајућих параметара који описују карактеристике протока. Све физичке величине и профили су без димензија. Такође су сви профили приказани према и . На слици 2 приказани су температурни профили за различите вредности времена т и Прандтлов број Пр варијације. Температура течности је опадајућа функција у односу на Прандтлов број Пр и полако се креће у сталном стању како време т расте. На слици 3 приказани су профили брзина за различите вредности времена т и варијације Грасхоф броја Гр . За остале константе имамо λ = 0.7, ω = 2, Пр = 5. Примећено је да се брзина флуида повећава повећањем Грасхоф-овог броја Гр . Повећавањем времена т повећава се разлика између брзина и устаљеног стања. На слици 4 приказани су профили брзина за различите вредности времена т и Прандтлов број П варијације. За остале константе имамо λ = 0.7, ω = 2, Гр = 5. Примећено је да се брзина флуида смањује повећањем Прандтловег броја Пр. Повећавањем времена т повећава се разлика између брзина и устаљеног стања. На слици 5 приказани су профили смицања напона за различите вриједности времена т и варијације Грасхоф броја Гр . За остале константе имамо

Image

. Примећено је да се у близини границе напонски смицање повећава повећањем Грасхоф-овог броја Гр, али након неке критичне вредности и , смични напон се смањује повећањем Гр . Повећавањем времена т повећава се критична вредност и , то значи да је критична тачка далеко од границе. На слици 4 приказани су профили смицања напона за различите вредности времена и Прандтлов број П варијација. За остале константе имамо λ = 0, 3, ω = 2, Гр = 10. Примећено је да се регион близу границе, напрезање под напоном смањује повећањем Прандтловег броја Пр. Повећавањем времена т , Сл. 6 има исто понашање као на Сл. 4. Поређење између Маквелл-ове и Невтонове течности графички је приказано на Сл. 7.

Image

Слика пуне величине

Image

Слика пуне величине

Image

Слика пуне величине

Image

Слика пуне величине

Image

Слика пуне величине

Image

Слика пуне величине

Image

Слика пуне величине

Закључци

Ова студија извештава о првом тачном решењу за проблем нестабилне мешане конвекције Маквелл течности методом Лаплацеове трансформације. Израчунавају се изрази брзине, смицања напона и температуре, а затим графички цртају за различите уграђене параметре. Решење које одговара проблему течности из Њутона проналази се као посебан случај. Штавише, утврђено је да се у недостатку термина за слободну конвекцију, већ објављени резултати могу опоравити као посебан случај. Из зацртаних резултата утврђено је да се температура смањује с повећањем броја Прандтла; међутим, за велике временске температуре температура опада касније. Брзина опада са порастом броја Прандтла, док се за Грасхоф-ов број примећује осцилирајуће понашање.

Додатне Информације

Како цитирати овај чланак: Кхан, И. и Схах, ​​НА Научни извештај о анализи преноса топлоте у мешовитом конвекцијском току Маквелл-ове течности преко осцилирајуће вертикалне плоче. Сци. Реп. 6, 40147; дои: 10.1038 / среп40147 (2016).

Напомена издавача: Спрингер Натуре остаје неутралан с обзиром на тврдње о надлежности у објављеним мапама и институционалној припадности.

Промени историју

Додатне информације

Ворд документи

  1. 1.

    Додатне информације

Коментари

Подношењем коментара пристајете да се придржавате наших Услова и Смерница заједнице. Ако нађете нешто злоупотребно или то није у складу са нашим условима или смерницама, означите то као непримерено.